Ⅰ. 서 론

표준 정시의 안광학계를 구성하는 각막, 수정체, 방수, 유리체 등의 굴절률과 각 굴절면의 곡률, 굴절 력 등의 계산된 수치를 정리 나열한 것을 광학적 모 형안이라고 한다.¹⁾ 각막, 수정체 등은 모형안을 이루 는 각각의 광학계로 모형안은 여러 개의 광학계가 모 여 이루어진 복합 광학계라고 할 수 있다. 그 중에서 가장 대표적인 광학적 모형안으로는 굴스트란드 모형 안이 있으며, 이는 굴절매체를 간략화시켜 광학 계산 을 함에 있어 편리하도록 하고 있다.^2-3) 하지만 이러 한 광학적 모형안은 근축영역에서 의미를 가지기 때 문에 주로 가우스 결상방정식을 이용하여 각각의 굴 절력 등이 계산되어진다.

가우스 결상방정식이란 근축 근사 영역에서 물체 의 위치와 상의 위치에 대한 상관관계식을 표현한 방 정식으로⁴⁾ 얇은 렌즈, 두꺼운 렌즈, 그리고 여러 렌 즈가 합성된 복합 광학계에서도 사용될 수 있는 장점 을 가지고 있다. 하지만 본 연구에서는 여러 개의 광 학계로 이루어진 복합 광학계에서는 그 계산이 복잡 하여지므로 계산의 편리함을 위하여 행렬전달식을 이 용하였다.^5-6)

행렬전달식은 광선이 렌즈에 입사할 때의 입사높 이, 입사각과 렌즈를 통과할 때의 출사고, 출사각과 의 관계식 [ y f α f ] = M [ y 0 α 0 ] 으로 표현된다(Fig. 1).⁵⁾ 여 기서 M 은 광학계에서의 광선의 굴절과 이동에 대한 정보를 내포하고 있다. 따라서 주어진 광학계에 대한 행렬 M 의 성분들을 계산하면 그 광학계에 대한 정보 를 분석할 수 있다. 행렬전달식을 사용함으로 몇 개 의 광학계가 존재하던지 계산을 좀 더 단순화시키면 서도 가우스의 렌즈 결상식과 비슷한 결과를 준다.

따라서 이 연구는 근축 근사를 근간으로 하고 있는 가우스 결상방정식과 행렬전달식으로 모형안을 분석 한 후 두 결과를 비교하여 행렬전달식의 타당성을 확 인하고자하였으며, 이를 실제 사람의 눈에도 적용하 여 광학적으로 분석하였다.⁵⁾

본문 1절에서는 두꺼운 렌즈에서의 가우스 결상방 정식과 행렬전달식에 대하여 설명하고 2절에서 굴스 트란드 모형안의 굴절력을 행렬전달식과 가우스 결상 방정식을 이용하여 구한 후 결과를 비교하여 행렬전 달식이 타당한지 확인하였다. 3절에서는 실제 눈에서 가우스 결상방정식과 행렬전달식 방법으로 굴절력을 구하고 비교 분석한 후 종합하여 결론을 맺는다.

Ⅱ. 본 론

1. 두꺼운 렌즈

현재 광학시스템을 분석하는 체계적이면서도 다양 한 방법들이 존재한다. 행렬전달식은 그 중의 한 방 법이며 입사광선의 위치(y), 각(α)과 출사광선의 위치 (y’) 및 각(α’)을 가지고 만들어낸 관계식으로서 여러 개의 렌즈로 인한 복잡한 계산을 면에서의 굴절과 동 일 매질에서의 진행 관계로 좀 더 단순하게 표현된다. 예를 들어 그림 2와 같이 두 개의 굴절면을 갖는 렌 즈에 대한 행렬은

으로 표현된다. 즉 하나의 렌즈에 대하여 첫 번째 면 에서의 굴절 M₁, 두 면 사이에서의 이동 M₂, 그리고 두 번째 면에서의 굴절 M₃을 M=M₃M₂M₁순서대로 나타내어 렌즈에 의한 입사광선과 출사광선의 관계식 을 계산할 수 있다. 즉, [ y f α f ] = M [ y 0 α 0 ] 으로 표현되며, y₀, α₀는 각각 광축으로부터 입사광선의 입사높이와 입사각이다.

여러 개의 렌즈로 이루어진 광학계에 대한 행렬은 [ y f α f ] = M N M N − 1 ⋯ M 2 M 1 [ y 0 α 0 ] 로 표현하여 분석할 수 있다.⁷⁾ 또한 행렬전달식을 계산하기 위해서는 입사높 이를 고려하여야 한다. 광선의 입사높이는 동공의 평 균크기가 2~4 mm이므로 광축으로부터 동공크기의 절반인 1~2 mm이나 근축광선의 추적식인 가우스 결 상방정식과 비교하기 위하여 높이를 0.01 mm로 하 여 계산하였다.

2. 굴스트란드 모형안

사람의 눈은 여러 개의 얇은 렌즈가 결합한 형태로 가정할 수 있으며, 굴절면과 광선이 만나는 부분에서 는 ( 1 0 n − n ′ n ′ R n n ′ ) 행렬, 광선이 동일한 매질에서 이동 할 경우 ( 1 t 0 1 ) 행렬을 사용하여 계산하였다. n은 굴절 면 앞 매질의 굴절률, n’은 굴절면을 포함한 매질의 굴절률, R은 굴절면의 곡률반경, t는 광선이 이동하 는 굴절면 사이의 길이를 나타낸다.

각막과 수정체 등 주요 굴절매체의 굴절력을 가우 스 결상방정식과 행렬전달식으로 비교분석하기 위해 굴스트란드 모형안의 기본 수치를 이용하여 계산하고 결과를 비교 분석하였다(Fig. 3).⁸⁾

굴스트란드 모형안은 굴절면의 개수에 따라 정식 모형안과 약식모형안 2가지로 나누어진다. 각막, 수 정체피질 및 수정체핵 각각의 전면과 후면 총 6개 굴 절면으로 구분하여 광학적 수치를 구한 정식모형안과 각막 전·후면을 한 개의 등가굴절면으로 하고, 여기 에 수정체 전·후면 두 개를 합해 총 3개의 굴절면으 로 축약한 약식모형안이 있다.⁴⁾

1) 각막

첫 번째로 굴스트란드 정식모형안에서 각막의 전 면곡률반경은 R₁=7.7 mm, 후면곡률반경은 R₂= 6.8 mm, 중심두께는 t=0.5 mm, 각막 앞 공기의 굴절률 은 n₁=1, 각막의 굴절률은 n₂=1.376, 각막 뒤 방수의 굴절률은 n₃=1.336이다. 이 수치들을 가우스 결상방 정식,

에 대입하여 계산하면 43.05D의 결과를 얻는다. 이 는 굴스트란드 정식모형안의 각막굴절력 43.05D와 같은 결과를 보여주고 행렬전달식으로 계산하면 43.10D의 결과를 가지게 되며 이는 모형안의 각막굴 절력과 0.16%의 차이로 거의 유사한 결과를 보여준 다(Table 1).⁹⁾

두 번째로 굴스트란드 약식모형안에서 각막은 단 일등가구면으로 곡률 7.8 mm이다. 이 때 가우스 결 상방정식과 행렬전달식으로 굴절력을 계산하면 각각 43.17D, 43.12D로 굴스트란드 약식모형안의 각막굴 절력 43.08D와 0.20%, 0.09%의 유사한 결과를 보여 준다.

2) 수정체

수정체도 각막과 마찬가지로 굴스트란드 정식모형 안과 약식모형안 두 가지 모형안으로 나누어 각각의 굴절력을 계산할 수 있다.

첫 번째로 굴스트란드의 정식모형안의 굴절면은 각막 전후면, 수정체피질의 전후면, 수정체핵 전후면 으로 6개이고 굴절률은 핵 1.406이고 피질 1.386으로 그림 4와 같다.⁴⁾

정식모형안에서의 수정체 굴절력 계산 결과 가우 스 결상방정식으로 19.50D, 행렬전달식으로 19.50D 로 모형안의 수정체 굴절력 19.11D와 2.0%의 적은 차 이를 보여준다(Table 2).

두 번째로 굴스트란드 약식모형안에서의 수정체는 그림 5와 같이 전후면 두 개의 굴절면으로 이루어졌다. 전면과 후면의 곡률반경이 각각 R₁=0.01 mm, R₂= -0.006 mm인 볼록렌즈 형태이며, 두께는 t= 0.0036 mm, 방수 굴절률 n₁=1.336, 수정체의 굴절률 n₂=1.4085, 유리체 굴절률 n₃=1.336이다.⁴⁾ 가우스 결 상방정식과 행렬전달식의 결과가 각각 20.28D, 20.69D로 약식모형안의 수정체 굴절력 20.53D와 각 각 1.2%, 0.8%의 차이를 보여준다.

3) 전체 모형안

전체 모형안의 굴절력은 수정체를 핵과 피질로 구 분한 요소들로 계산하였을 때 가우스 전달방정식으로 각막정점초점거리, 정점굴절력은 각각 24.39 mm, 59.05D의 값으로 계산되어지며 이는 정식모형안의 정 점초점거리 24 mm, 정점굴절력 60D에 대하여 1.6% 의 차이를 가진다.

이를 행렬전달식으로 나타내면 아래와 같이 여러 행렬의 곱으로 나타낼 수 있다.

여기서 R은 Refraction, T는 Translation을 나타 내며 이를 계산하면 망막 뒤 0.39 mm에 상이 생기며 위치는 각막 정점으로부터 24.39 mm이다. 따라서 정점굴절력은 59.05D으로 가우스 결상방정식과 마찬 가지로 모형안의 정점굴절력 60D와 1.6% 차이를 보 인다(Table 3).

3. 대상안

앞에서 굴스트란드 모형안을 가우스 결상방정식과 행렬전달식으로 계산 후 비교한 결과 두 계산한 결과 와 모형안 값이 유사하다고 할 수 있으므로 실제 근 시성 난시안의 정점초점거리를 가우스 결상방정식과 행렬전달식으로 계산하여 보았다. 그림 6은 피검사자 의 측정값을 나타낸 것으로 피검사자는 안축길이 27.58 mm의 축성 근시성 난시안으로 망막 앞으로 수직, 수평 상이 생기게 된다(Fig. 6).

가우스 결상방정식을 이용하였을 때 수직정점초점거 리는 24.85 mm, 수평정점초점거리는 25.15 mm이며 수직, 수평 정점초점거리는 0.30 mm의 차이가 있다.

이를 행렬전달식으로 계산하면 수직정점초점거리 24.84 mm, 수평정점초점거리는 25.14 mm이며 0.30 mm의 차이가 있다(Table 4).

Ⅲ. 결 과

본 연구는 두꺼운 렌즈와 굴스트란드 모형안을 가 우스 결상방정식과 행렬전달식으로 계산하여 두 식의 결과 값이 유사함을 확인하였고, 실제 사람의 눈으로 계산하여 보았을 때 두 방법 결과를 비교 분석하였다.

각막굴절력에 대한 계산 결과, 가우스 결상방정식 은 43.05D, 행렬전달식은 43.10D이다. 이는 굴스트 란드 정식모형안의 각막굴절력 43.05D와 0.00%, 0.16%으로 같거나 적은 차이를 보였다. 굴스트란드 정식모형안의 수정체 굴절력에 대한 계산 결과는 가 우스의 결상방정식, 행렬전달식 모두 19.50D로 계산 되며 굴스트란드 정식모형안의 수정체굴절력 19.11D 와 2.0%의 차이를 보였다.

또한 굴스트란드 정식모형안의 전체 광학계 굴절 력을 계산하였다. 그 결과로 가우스 결상방정식은 정 점굴절력 59.05D으로 정식모형안의 정점굴절력 60D 와 1.6% 차이가 있다. 행렬전달식은 정점초점거리 24.385 mm, 정점굴절력 59.05D로 가우스 결상방정 식과 마찬가지로 모형안의 정점굴절력 60D와 1.6%의 차이가 있다.

위 결과 가우스 결상방정식과 행렬전달식은 모형안 의 기본 수치로 계산하였을 때 계산결과가 모형안 굴 절력과 2%내 차이로 두 방법 모두 유효하다고 판단된 다. 하지만 행렬전달식은 가우스 결상방정식과 다르 게 입사하는 광선의 높이에 따라서 초점의 거리가 달 라지므로 사람의 평균 동공크기가 2~4 mm이므로 입 사높이를 0.01 mm로 하여 계산하였다. 그 결과 안축 길이 27.58 mm의 축성 근시성 난시안에서 가우스 결 상방정식의 수직정점초점거리는 24.85 mm, 수평정 점초점거리는 25.15 mm이며 행렬전달식의 수직정점 초점거리는 24.84 mm, 수평정점초점거리는 25.14 mm이다. 두 방법 모두 수직, 수평 상의 거리차이는 0.30 mm이다(Table 5).

Ⅳ . 고찰 및 결론

안광학계에서 굴절에 관여하는 각막, 수정체, 방 수, 유리체 등의 굴절률과 각 굴절면의 곡률, 굴절력 을 정리한 굴스트란드 모형안은 근축영역에서 의미가 있기 때문에 가우스의 결상방정식을 이용하여 각각의 굴절력을 계산할 수 있다.

가우스의 결상방정식은 얇은 렌즈, 두꺼운 렌즈, 여러 렌즈가 합성된 복합 광학계에서도 계산이 가능 하지만 복합 광학계에 대해서는 그 계산이 복잡하다. 이를 비교적 쉽게 분석할 수 있는 방법이 행렬전달식 을 이용하는 것이다.

행렬전달식은 주어진 광학계에 대하여 입사광선과 출사광선에 대한 높이와 각에 관한 관계식을 행렬식 으로 나타낸 것으로 복잡한 광학계에서 계산을 좀 더 단순화시키면서도 가우스의 렌즈 결상식과 비슷한 결 과를 나타낸다. 이를 굴스트란드 모형안과 실제 사람 의 눈을 가지고 계산하였을 때 두 계산 결과가 모형안 의 값과 2%이내의 차이로 유효하다고 판단되어지며 실제 눈에서는 두 방법으로 계산한 결과가 거의 동일 하므로 행렬전달식의 유용성을 확인할 수 있었다.

행렬전달식은 가우스 결상방정식으로 계산하기 복 잡한 복합 광학계에 대해 보다 쉽게 접근을 할 수 있 었다. 이는 ICL 근시교정술 환자에게 적용하여 적합 한 렌즈를 보다 쉽게 계산하여 구할 수 있을 것이며 현재 ICL 삽입 시 최적의 교정효과를 보이는 렌즈 삽 입위치를 간단하게 구할 수 있다. 또한 렌즈의 회전 으로 인한 난시유발 문제가 있을 수 있는 토릭 ICL대 신 구면 ICL을 사용하여 난시를 보정해줄 수 있는 렌 즈 삽입의 최적의 위치를 쉽게 구할 수 있으며 이를 통하여 토릭 ICL의 회전으로 인한 문제점을 제거할 수도 있을 것이다.¹⁰⁾