Ⅰ. 서 론

외부의 다양한 시각 정보는 짧은 시간에 눈을 통해 뇌 로 전달된다. 시각 정보가 뇌로 전달되기 위해서는 각막 을 통과한 후 방수, 유리체 및 수정체와 같은 눈의 광학 계를 통과하여 굴절된 후 망막에 도달해야 한다. 망막에 도달한 시각 정보는 시신경을 통해 최종적으로 뇌로 전 달된다.

안경광학에서는 시각 정보의 전달 과정이나 망막 상 의 선명도와 같은 복잡한 눈의 광학적 현상을 설명하기 위해 간단하게 구조화한 모형안(schematic eye model) 을 사용한다.

모형안의 사용은 17세기 Scheiner가 굴절이상의 이유 를 연구하기 위해 눈을 도식화하면서 시작되었다. 그 후 Descartes는 이를 사용하여 안경의 교정 방법을 설명하였 다. 눈의 광학적 모형안의 설계를 위한 곡률반경, 안축장 및 굴절률 등은 17세기부터 나타났으며, 19세기로 넘어가 면서 주로 사용되고 있는 모형안으로 발전하였다.¹⁾

눈을 단순하게 구조화시키는 과정은 현대까지 계속되 고 있다. 초창기 모형안은 단일 굴절면을 가지는 형태로 써 수정체를 고려하지 않았기 때문에, 큰 굴절력의 각막 과 짧은 안축장을 가지고 있었다. 이후 모형안은 3개의 굴절면을 가지는 생략안(reduced eye)으로 각막을 1개 의 굴절면으로, 수정체를 2개의 굴절면으로 표현했다. 좀 더 복잡한 모형안은 Gullstrand가 제시하였으며, 2 개의 굴절면을 가지는 각막과 4개의 굴절면을 가지는 수 정체로 구성되었다.²⁾

20세기에 이르러 컴퓨터가 발전됨에 따라 복잡한 광 선추적의 계산이 가능해지고 모형안을 해부학적인 실제 눈과 유사하도록 설계할 수 있게 되었다. Siedlecki 등³⁾ 은 비구면 및 급격하게 변화되는 굴절률을 가진 수정체 가 반영된 새로운 모형안을 제안하였으며, 이를 통해 망 막 상의 질과 구면수차를 평가했다. Escudero-Sanz 및 Navarro는 4개의 굴절면(각막 및 수정체)과 1개의 망막을 포함한 광각(0~60° 범위) 모형안을 제시하였으 며, 시뮬레이션을 통해 수차를 계산하였을 때, 실험적으 로 얻은 평균 데이터와 일치하는 것을 발견하였다.⁴⁾ Mah 등⁵⁾은 Gullstrand–Emsley 및 Bennett이 제시한 모형안을 기반으로 한국인의 표준 모형안을 설계하였으 며, 한국인 정시안에서 각막 전면 곡률반경 및 등가구면 굴절력, 수정체 전·후면 곡률반경, 두께 및 등가구면굴 절력, 안축장과 눈의 등가구면굴절력이 서로 다른 것을 발견하였다. Baarg⁶⁾은 노안의 광학적 교정법에 다양한 예측이 가능할 수 있도록 연령 증가에 따른 광학상수 변 화를 조사하였으며, 노안의 해부학적 특성을 포함한 모 형안을 설계하였다.

하지만 모형안은 해부학적인 눈과 비교했을 때, 측정 된 실제 눈에서 광학상수의 수치가 서로 다르므로 정확 하게 일치하지 않아 광선의 진행 과정에 따른 망막 상의 선명도, 수차 등의 광학적분석이 필요할 경우 선행연구 에서 제시된 여러 모형안 중 적절한 것을 선택해야 한 다. 모형안은 크게 근축 기하광학을 적용한 근축 모형안 (paraxial schematic eye model)과 근축 모형안의 광 학적 특성을 포함하고 4개 이상의 굴절면을 가지는 정밀 모형안(finite schematic eye model)으로 구분할 수 있 으며, 현재 일반적으로 가장 많이 사용하는 모형안은 Gullstrand 모형안이다.⁷⁾ 단순한 Gullstrand 모형안은 각막과 수정체, 그리고 내부 공간은 수양액으로 채워져 있다. 좀 더 정밀한 Gullstrand 모형안은 수정체를 피 질과 핵으로 구분하여 수정체 내부의 굴절률이 단일 값 이 아니라 연속적인 값을 갖도록 설계했다. 이후 정확한 Gullstrand 모형안에 대한 다양한 연구가 수행되었으 며, 각각의 연구에서는 굴절률, 곡률반경 등이 세부 조 정된 값을 통해 눈의 광학적 특성을 분석했다.¹⁾

Vojniković 및 Tamajo는 눈의 광학적 및 해부학적 값(안 매체의 굴절률, 각막 및 수정체의 곡률반경, 안구 의 축 길이)이 다르기 때문에 Gullstrand 모형안의 수 정을 제안하였으며, 방수 및 유리체에 굴절률에 실제 측 정값을 적용하였다.⁸⁾ 현재까지 Gullstrand가 제시한 모 형안에 기반한 분석은 계속 변화하고 있으며, 측정된 광 학상수를 적용하는 방법에 따라 눈의 광학적 특성에서 차이가 있는 것이 확인되었다.⁹⁾

이와 같은 모형안을 통한 연구는 실제 눈을 통한 접근 이 쉽지 않은 안과적 수술이나 수차의 최적화를 위한 눈 의 특성을 분석하고 규정하는데 적용할 수 있으며, 광학 상수 측정법의 발달과 복잡한 계산이 가능해짐에 따라, 발전하고 있으며, 지속적인 모형안의 설계와 개발이 필 요한 실정이다.

따라서 본 연구는 모형안에서 다양한 눈의 광학적 특 성을 분석하기 위해, Gullstrand 모형안을 기반으로 한 선행연구 결과를 참고하였으며, 근축 근사 없는 광선추 적 방법을 통해 모형안에 입사한 평행광선에 의한 눈의 광학적 특성(초점거리, 구면수차 및 초점심도)을 수학적 으로 산출하고 변화를 확인하고자 하였다.

Ⅱ. 대상(재료) 및 방법

본 연구에서는 Vojniković 및 Tamajo가 제시한 수 정된 Gullstrand 모형안의 광학상수를 사용하여 근축 근사 없는 광선추적 방법으로 모형안에 입사한 평행광선 이 망막에 상을 맺히는 점을 분석하였다. 이때, 모형안 의 수정체는 피질과 핵의 이중 굴절률을 갖는 구조로 설 정하였다.

모형안의 광학상수는 각막 전·후면 곡률반경은 각각 7.70 mm 및 6.80 mm, 굴절률은 1.376으로 설정하였 다. 수정체 피질 전·후면의 곡률반경은 각각 10.00 mm 및 –6.00 mm, 굴절률은 1.386으로, 그리고 수정 체 핵의 곡률반경은 7.91 mm 및 –5.76 mm, 굴절률은 1.406으로 설정하였다(Fig. 1).

일반적으로 상의 위치를 계산하기 위해서는 광축과 입사광선 사이의 각이 작은 근축영역에서 Gaussian 결 상방정식을 사용한다.¹⁰⁾ 하지만 본 연구에서는 보다 정 확한 분석을 위해 근축 근사 없는 Snell의 법칙을 적용 하였고, 광선추적을 위한 수치계산은 Mathematica 9.0(USA, Wolfram Research) 프로그램으로 589 nm 의 중심파장을 사용하였다. 계산된 결과 중 일부 그래프 는 Origin 9.0(Origin Pro, Origin Lab, Northampton, Massachusetts, USA)을 사용하여 작성하였다.

Ⅲ. 결 과

1. 평행 입사광선의 굴절

Fig. 2는 근축 근사 없이 눈에 입사한 광선을 추적하 기 위해 Snell의 법칙에서 매개 변수를 나타낸 것이다. 실제 눈에서 입사광선은 6개의 굴절면(각막 전·후면, 수정체 피질 전·후면, 및 수정체 핵질 전·후면)에 대 해 총 6번의 굴절이 발생한다. 평행광선이 중심축으로부 터 높이 h₁으로 입사하면, 입사각은 θ₁ 이고, Snell의 법칙에 의해 각막 전면에서의 굴절각 θ₁′은

이 된다. 여기서 n₁ 은 각막 앞 공기의 굴절이고, n₁′는 각막 내부 굴절이므로 각각 n₁ = 1.000,n₁′ = 1.376 이다.

같은 방법으로 각각의 굴절면에서 굴절각 및 굴절률 에 대한 일반항을 첨자로 구분하여 표시하면

와 같다.

입사광선과 각 굴절면의 접점을 계산하기 위해 입사 광선을 나타내는 직선의 방정식과 굴절면을 나타내는 구 의 방정식을 도입하였다. 마찬가지로 각각의 굴절면을 구분하기 위해 첨자를 도입하여 접점을 (x_i, y_i)으로 표 시했다. 접점은 직선의 방정식과 구의 방정식

의 공통 해가 된다.

이전 접점에서 굴절되고 다음 접점까지 이동하는 광 선을 나타내는 직선의 방정식은 기울기 및 y-절편

이 과정을 반복해서 적용하여 각각의 접점과 최종적 으로 결상점을 찾았다.

2. 초점거리

초점 즉, 평행광선이 입사하여 각각의 굴절면에서 차 례로 굴절된 후 광축과 만나는 점을 앞 절에서 사용된 입사광선 추적 방법을 적용하여 찾았다. 굴절면에서 접 점을 찾은 후 각 점을 이으면 Fig. 3 (a)와 같이 각막과 수정체 피질 및 수정체 핵의 형상이 된다. Fig. 3 (b)는 최종적으로 찾은 결상점을 확대하여 나타낸 것이다.

Table 1은 평행광선의 입사 높이에 따른 초점거리 변 화이다. 이때, 초점거리는 각막으로부터 결상점까지 거 리를 의미하고, 평행광선의 높이가 증가할수록 초점은 망막으로부터 멀어지고 각막에 근접하게 된다. Fig. 4는 Table 1에 있는 값들을 그래프로 나타낸 것이다. 마찬 가지로 입사 높이가 증가할수록 초점거리는 비선형적으 로 감소하는 것을 확인할 수 있었다.

3. 구면수차

구면수차는 광선의 입사 높이에 따라 구면의 굴절력 이 다르게 적용되어 초점이 서로 일치하지 않는 현상을 의미한다. Fig. 5는 구면수차를 설명하기 위한 것으로, 일반적으로 잘 알려진 구면렌즈에서 입사광선의 높이에 따른 프리즘 굴절력을 나타낸다. 렌즈를 프리즘의 집합 체라고 할 때 경사각 θ 와 θ ′는 입사점의 접선과 렌즈중 심에 수직한 선분이 이루는 각으로 프리즘 정각의 1/2 이 된다. 상대적으로 렌즈의 중심에 가까운 경사각 θ 에 비하여 경사각 θ ′의 크기가 더 크다는 것을 알 수 있다. 렌즈 중심부분에서 가장자리로 갈수록 경사각(θ , θ ′)이 커지고 굴절력도 증가한다. 따라서 평행광선이 입사하는 경우, 중심부의 입사광선은 굴절면에서 먼 쪽에 결상되 고, 가장자리로 입사한 광선은 굴절면에 가까운 쪽에 결 상된다(Fig. 5).

렌즈의 광학 중심점을 벗어난 광선에서 유발된 프리 즘 굴절력은 일반적으로 잘 알려진 Prentice 공식으로 설명이 가능하다. 임상에서 Prentice 공식은 렌즈의 입 사점에서 광선의 수직편향 직선거리를 cm 단위의 h로 하여 프리즘 굴절력(△)만 구할 수 있는 스칼라 형식

을 주로 사용한다. 이때, P (Δ)는 유발된 프리즘 굴절 력, D ′는 구면굴절력, h 는 렌즈의 광학 중심점에서 벗 어난 거리(cm)를 각각 의미한다. 스칼라 형식은 간단하 게 계산할 수 있는 반면에 토릭렌즈에서 기저방향 적용 이 번거롭다.

벡터 형식의 Prentice 공식은 토릭렌즈를 포함하여 프리즘 굴절력(△)과 기저방향(base)을 함께 적용하며, 입사점에서 광학 중심점까지 거리 h를 위치벡터 r →로 나타낼 수 있다.

이때, 렌즈의 구면굴절력, 원주굴절력 및 축방향을 각 각 S, C 및 θ 로 하여 S⁐C, Axθ 로 나타내며, 렌즈의 굴절력 행렬 표기는

이고, 원주굴절력이 0 D인 구면렌즈의 행렬은

로 나타낼 수 있다. 위치벡터 r →는 렌즈를 통과한 시점의 수직 및 수평 편향거리로 각각 x 및 y 로

로 나타낼 수 있다.

이를 정리한 벡터 형식의 Prentice 공식은

이다.

참고로, 원주굴절력이 0인 구면렌즈의 프리즘 굴절력 은 P R → = − [ D ] r → = − [ S 0 0 S ] [ x y ] 으로, 수직 및 수평 방 향의 프리즘 굴절력은 각각 P_x = -Sx , P_y = -Sy 이 되어 결과적으로 간단한 스칼라 형식의 Prentice 공 식과 같다.

종방향 구면수차는 근축광선의 결상점으로부터 주변 입사광선의 결상점까지의 거리로 정의할 수 있다. 광학 적으로 눈은 각막의 전·후면, 수정체와 수정체 핵의 전·후면인 6개의 굴절면으로 구성되어 있다.

근축 근사에 의한 결상점을 찾기 위하여 Gauss 결상방 정식을 사용했다. 익히 알려진 바와 같이 근축 근사를 적용 하면 광선의 입사 높이와 관계없이 한 점에 결상된다.

굴절면에 대한 결상방정식은

이다. 여기서 n₁ = 1로 각막 전면의 공기이고, 각 면 의 굴절률 관계로 n_i′ = n_i+1이다.

또한, 전달방정식

를 이용하여 다음 굴절면의 물체거리를 구하고 연속적 으로 결상방정식을 각각 적용했다. 각막 전면에 대한 결상방정식은 첨자를 i = 1으로 하였으며, 평행광 선이 입사하므로 각막 전면으로부터 물체거리는 무한대 (s₁ = ∞)이다. 이때, 근축 근사광선이 최종적으로 수 정체 후면을 통과한 후 결상된 쪽은 각막 전면으로부터 오른쪽으로 24.3859 mm 지점이었다.

근축 근사 없이 평행광선이 입사하는 경우, 입사 높이 에 따른 광선들의 구면수차를 분석하였다. 정의에 따라 근축광선의 결상점으로부터 주변 입사광선의 결상점까 지의 거리를 계산하여 종 구면수차를 찾았다. Fig. 6는 근축광선의 결상점에서 각 광선의 결상점까지의 거리를 나타낸 것이다. 입사광선의 증가할수록 결상점은 근축광 선의 결상점으로부터는 멀어지며 각막에 가까워지는 것 으로 나타났다.

Fig. 7 안에 있는 점들은 평행광선의 입사 높이에 따 른 종 구면수차의 수치적 분석 결과이다. 입사광선의 높 이에 따라 수차가 급격하게 증가하는 것이 확인되었다. 참고로, Zeidel의 분석에 따르면 종 구면수차는 입사광 선 높이의 세제곱에 비례한다.

Fig. 7의 실선은 3차 다항 함수 y=ax³+bx²+cx+d로 피팅한 결과이다. 피팅 함수의 상수는 각각 a=0.01182, b=0.10948, c=0.02576, 그리고 d=-0.00596이었다.

4. 초점심도

초점심도는 광학계의 특성을 정의하는 하나의 지표이 다. 초점심도가 깊으면 상면의 위치가 다소 변하더라도 상의 해상도가 유지되기 때문에, 해당 광학계는 우수한 것으로 평가된다. 사람의 눈은 초점심도가 깊으면 상점 이 다소 달라지더라도 선명한 상이 맺혀서 물체를 명확 히 구분할 수 있다. 사람의 눈은 물체의 위치에 따라 조 절을 통해 수정체의 곡률을 변화시키고, 동공의 크기도 변하여 초점심도는 가변적이다. 하지만, 렌즈나 거울과 같은 광학계는, 사람 눈의 수정체처럼 형상을 바꿀 수 없으므로, 초점심도를 깊게하기 위해서는 굴절면의 곡률 을 별도로 설계하거나 여러 개의 렌즈를 적절하게 배치 하는 방법 등으로 초점심도를 조정할 수 있다.

본 연구에서는 눈의 조절기능을 배제하였고, 이에 따 라 수정체의 곡률을 일정하게 유지한 상태에서 입사광선 들의 입사 높이에 따른 초점심도 변화를 분석하였다.

이때, 초점심도와 분해능 사이에 연관 관계가 있음이 잘 알려진 사실이지만 정량적으로는 모든 상황에 적용할 수 있는 정의가 따로 존재하지 않았다. 따라서 본 연구 에서는 Fig. 8에 제시한 것처럼 빔 스폿 사이즈에 맞도 록 수평선을 그어, 광선들과의 접점 간 거리를 초점심도 로 정의했다. 이러한 정의를 기반으로 평행광선의 입사 높이에 따른 초점심도를 정량적으로 분석했다.

Fig. 9는 평행광선의 입사 높이에 따른 초점심도 변 화를 나타낸 그래프이다. 입사 높이가 증가할수록 초점 심도는 급격히 감소하는 것을 볼 수 있다. 따라서 초점 심도를 증가시키기 위해서는 가장자리를 지나는 입사광 선을 차단하는 것이 효과적임을 확인할 수 있다. 핀홀 카메라는 개구(Aperture)의 크기가 작아서 근축 근사광 선만 핀홀을 통과할 수 있으므로, 초점심도가 깊은 것으 로 익히 알려져 있다. 본 연구 결과도 이와 같은 일반적 인 사실에 잘 부합하였기 때문에, 본 연구에서 설정한 초점심도의 정의는 적절한 것으로 판단되었다.

Ⅳ. 결 론

Lee 등¹¹⁾은 눈에서 굴절에 관여하는 광학계(각막, 수 정체, 방수, 유리체 및 망막)를 정리한 Gullstrand 모형 안은 근축 근사 영역에서 의미가 있고, Gaussian 결상 방정식 및 행렬전달식 방법이 Gullstrand 모형안과 실 제 눈에 적용하였을 때 2% 이내로 유효하다고 제시하였 다. 하지만 본 연구는 선행연구의 결과에서 나아가 근축 근사 없는 눈의 광학적 특성을 살펴보고자 시도하였으 며, 방수의 굴절률이 수정된 Gullstrand 모형안에서 초 점거리, 구면수차 및 초점심도와 같은 눈의 특성을 살펴 보았다.

근축 근사가 적용된 Gullstrand 모형안에서 눈으로 입사한 평행광선은 수정체 후면을 통과한 후 각막 정점 으로부터 약 24.39 mm에 결상한다. 그러나 본 연구에 서 초점거리는 한 점으로 수렴되지 않았으며, 입사높이 가 증가함에 따라 감소하여, 각막과 가깝게 위치하는 경 향을 나타냈다. 초점거리가 한 점으로 수렴되지 않는 특 성에 기반하여 모형안에서의 구면수차와 초점심도에 대 한 정의를 제시할 수 있었다.

본 연구에서 구면수차는 근축 근사가 적용된 입사광 선의 결상점에서 근축 근사가 적용되지 않은 입사광선의 결상점 간 거리로 설정할 수 있었으며, 입사광선의 높이 가 증가할수록 종 구면수차가 증가하였다. 광학계에서 구면수차는 본 연구 결과와 마찬가지로 렌즈의 중심에서 주변으로 갈수록 프리즘 영향에 따른 굴절력의 변화로 증가하는 경향을 보이고, 렌즈를 통과된 광선을 한 점으 로 수렴시키지 않아 상의 질이 떨어지게 된다. 눈에서 구면수차는 동공을 통해 입사되는 광선의 높이를 제어되 지만, 동공의 크기가 증가하는 야간환경에서는 영향을 받을 수 있다. 눈에서 초점심도는 망막에 결상된 물체의 상이 일정한 범위 내에서 한 점으로 수렴하지 않아도 선 명하게 볼 수 있은 범위를 의미하며, 동공의 크기, 조절 및 조명등에 영향을 받기 때문에, 가변적이며 정확한 범 위를 제시하기 어렵다. 따라서 본 연구는 조절의 영향을 배제하고 순수하게 광학적 특성만 고려하여 초점심도를 분석하고자 동공중심 0.1 mm를 빔스폿 사이즈로 정의 하여 빔스폿의 수평선과 입사광선의 접점 사이의 거리를 초점심도로 정의하였다. 근축 근사가 적용되지 않은 입 사광선의 입사높이가 증가할수록 초점심도는 감소하였 고, 초점심도가 감소할수록 시력의 질은 저하된다.

본 연구에서 근축 근사 없는 수정된 Gullstrand 모형 안의 초점거리, 구면수차 및 초점심도는 익히 알려진 내 용과 잘 일치하였으며, 설정된 초점심도의 정의는 적절 한 것으로 판단된다. 명확한 분석을 위해 후속 연구에서 는 시뮬레이션으로 모형안을 설계하여 수치적으로 분석 한 결과와 비교할 필요가 있다. 생체적 분석이 제한될 수밖에 없는 눈의 광학적 현상은 근축 근사 없는 방법을 적용하여 수치적으로 분석할 수 있으며, 눈에서 발생하 는 다양한 광학적 현상을 잘 이해할 수 있을 것으로 판 단된다.